Геометрическая прогрессия
Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2; 
; 
; 
; … .
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.
Определение. Геометрической прогрессией
называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Иначе говоря, последовательность 
– геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:
и 
, (1)
где q – некоторое число. Обозначим, например, через последовaтeльность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n верно равенство 
; здесь 
.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любой натуральном n верно равенство: 
Число q называют знаменателем геометрической
прогрессии
.
Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.
Приведем примеры.
Пример 1. Если 
и q= 0,1, то получим геометрическую прогрессию: 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;
Пример 2. Условиями 
и q = 3 задается геометрическая прогрессия – 2; – 6; 
; – 54; – 162; . .
Пример 3. Если 
и 
, то имеем прогрессию: 4; – 12; 36; – 103; 324; … .
Пример 4. Если 
и q = 1, то получим геометрическую прогрессию 8; 8; 8; … .
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий, а также любой её член:
Точно так же находим, что 
и т. д. Вообще, чтобы найти , мы должны b1 умножить на 
, т. е.
(2)
Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.
1. Формула (2), очевидно, верна при 
.
2. Предположим, что она верна и при 
, т.е. 
3. Из (1) следует 
, то есть формула (2) верна и при 
.
Из принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого натурального п.
Что и требовалось доказать.
Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.
Пример 1. В геометрической прогрессии 
и 
. Найдем 
.
По формуле n -го члена геометрической прогрессии
Другие статьи:
Система хронологических представлений школьников
Ведущие методисты советского периода разрабатывали систему изучения хронологии, ими были разработаны различные методы и приёмы, позволяющие обеспечить на уроке усвоение хронологических сведений, варианты объяснения наиболее сложных тем, например: «Счёт лет в истории», «Соотнесение века с тысячелетием», «Реше ...
Личностно-развивающий потенциал урока как предмет специальной
проектировочной деятельности учителя
Он реализуется с учетом возрастных особенностей школьников. Итак, урок может содержать в себе: - включение в содержание урока специально подобранного материала, позволяющего ученикам выразить свое отношение к изучаемому; - организация деятельности учащихся, имплицитно содержащая возможность рефлексии, самооц ...
Главные разделы
- Главная
- Профессиональное самоопределение школьников
- Воспитание этнической толерантности в школе
- Понятие и технология обучения
- Образовательные технологии
- Оптимизация системы образования
- Изучение информационных технологий в школе
- Педагогика как наука