Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2; ; ; ; … .
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.
Определение. Геометрической прогрессией
называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Иначе говоря, последовательность – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:
и , (1)
где q – некоторое число. Обозначим, например, через последовaтeльность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n верно равенство ; здесь .
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любой натуральном n верно равенство:
Число q называют знаменателем геометрической
прогрессии
.
Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.
Приведем примеры.
Пример 1. Если и q= 0,1, то получим геометрическую прогрессию: 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;
Пример 2. Условиями и q = 3 задается геометрическая прогрессия – 2; – 6; ; – 54; – 162; . .
Пример 3. Если и , то имеем прогрессию: 4; – 12; 36; – 103; 324; … .
Пример 4. Если и q = 1, то получим геометрическую прогрессию 8; 8; 8; … .
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий, а также любой её член:
Точно так же находим, что и т. д. Вообще, чтобы найти , мы должны b1 умножить на , т. е.
(2)
Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.
1. Формула (2), очевидно, верна при .
2. Предположим, что она верна и при , т.е.
3. Из (1) следует , то есть формула (2) верна и при .
Из принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого натурального п.
Что и требовалось доказать.
Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.
Пример 1. В геометрической прогрессии и . Найдем .
По формуле n -го члена геометрической прогрессии
Другие статьи:
Постановка
проблемы и обоснование проекта
Практическое исследование проведено на базе Муниципального бюджетного дошкольного образовательного учреждения «Детский сад общеразвивающего вида с приоритетным осуществлением физкультурно-оздоровительного развития воспитанников № 24 «Искорки» г. Зеленогорска Красноярского края (МБДОУ д/с № 24 «Искорки»). Для ...
Профилактика безнадзорности несовершеннолетних как направление работы социального
педагога общеобразовательной школы
Руководитель Департамента образования считает, что в основе решения проблемы детской безнадзорности лежит профилактическая работа с семьями, в первую очередь с семьями, находящимися в социально опасном положении - малообеспеченными, неполными; семьями, где есть безработные, злоупотребляющие алкоголем. По ее ...