Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:
.
Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: .
Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:
, .
Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.
Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через :
(5)
Умножим обе части этого равенства на q:
Учитывая, что получим:
(6)
Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:
Пусть , тогда (7)
Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и .
Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение . Получим:
если . (8)
Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой и .
Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться формулой (8). Получим:
Пример 2. Найдем сумму , слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x; ; … .
Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых её членов. Воспользуемся формулой (7):
Таким oбразом,
Умножим левую и правую части последнего равенства на . Получим тождество
В частности, при и приходим к известным формулам:
Другие статьи:
Назначения и характеристики учебных текстов разного типа
Я выделила следующие цели учебных текстов: передачу знаний, научить способам решения задач, помощь в подготовке к экзаменам, предоставление информации, развитие мышления. Остановимся подробнее на выделенных нами особенностях текста, соответствующих каждому назначению. Цель передать знания: овладеть основами ...
Коррекционная работа по развитию зрительного восприятия детей с нарушением
зрения
Обучение и воспитание в детских садах для детей с косоглазием и амблиопией направлено на раннюю коррекцию и компенсацию вторичных отклонений в развитии детей, осуществление лечебно-восстановительной работы по исправлению косоглазия и амблиопии, а также успешную подготовку детей к обучению в школе. Успешность ...