Пример 3. Найдем сумму шести первым членов геометрической прогрессии , если известно, что
и
.
Зная и
, можно найти знаменатель прогрессии q.
Так как то
Значит, или
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Если , то
и
Если , то
и
Мы знаем, что число обращается в бесконечную десятичную периодическую дробь 0,3333 . .
Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить бесконечную десятичную дробь 0,3333… по разрядам, то получим сумму с бесконечным числом слагаемых: 0,03 + 0,003 + 0,0003 + . .
Слагаемые в этой сумме являются членами геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ., у которой .
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии имеем:
При неограниченном увеличении числа слагаемых n выражение становится сколь угодно близким к нулю, а значит, и вся дробь
неограниченно приближается к нулю.
Действительно, если n = 2, то если n = 3, то
если n = 4, то
если n = 5, то
и т.д.
Поэтому при неограниченном увеличении n разность становится сколь угодно близкой к числу
или, как говорят, стремится к числу
.
Таким образом, сумма n первых членов геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; . при неограниченном увеличении п стремится к числу . Это утверждение записывают в виде равенства
.
Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; . .
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию у которой
Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии:
Преобразуем выражение в правой части равенства:
Значит,
Можно доказать, что если , то при неограниченном увеличении п множитель
стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение
. Поэтому при неограниченном увеличении п сумма
Другие статьи:
Особенности звукопроизносительной стороны речи у детей дошкольного возраста
с фонетико–фонематическим недоразвитием речи
На современном этапе развития логопедии квалификация дефекта опирается на совокупность критериев разных дисциплин изучающих речь. Фонетико-фонематическое недоразвитие речи – это нарушение процессов формирования произношения у детей с различными речевыми расстройствами из-за дефектов восприятия и произношения ...
Экспериментальное исследование по развитию конструктивных умений
дошкольников в изготовлении подвижных игрушек
Опытно-экспериментальная работа проводилась в ДОУ «Незабудка» с. Налобиха, Косихинского района в 2007-2008 учебном году с детьми 7-го года жизни, условно разделённых на две группы по восемь человек. Экспериментальная работа проводилась поэтапно: 1 этап – констатирующий эксперимент был направлен на выявление ...