Пример 3. Найдем сумму шести первым членов геометрической прогрессии , если известно, что
и
.
Зная и
, можно найти знаменатель прогрессии q.
Так как то
Значит, или
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Если , то
и
Если , то
и
Мы знаем, что число обращается в бесконечную десятичную периодическую дробь 0,3333 . .
Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить бесконечную десятичную дробь 0,3333… по разрядам, то получим сумму с бесконечным числом слагаемых: 0,03 + 0,003 + 0,0003 + . .
Слагаемые в этой сумме являются членами геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ., у которой .
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии имеем:
При неограниченном увеличении числа слагаемых n выражение становится сколь угодно близким к нулю, а значит, и вся дробь
неограниченно приближается к нулю.
Действительно, если n = 2, то если n = 3, то
если n = 4, то
если n = 5, то
и т.д.
Поэтому при неограниченном увеличении n разность становится сколь угодно близкой к числу
или, как говорят, стремится к числу
.
Таким образом, сумма n первых членов геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; . при неограниченном увеличении п стремится к числу . Это утверждение записывают в виде равенства
.
Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; . .
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию у которой
Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии:
Преобразуем выражение в правой части равенства:
Значит,
Можно доказать, что если , то при неограниченном увеличении п множитель
стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение
. Поэтому при неограниченном увеличении п сумма
Другие статьи:
Научно-теоретические основы развития сюжетно-ролевых игр старших
дошкольников
Проблема развития игровой деятельности в исследованиях отечественных и зарубежных психологов и педагогов Игра представляет собой особую деятельность, которая расцветает в детские годы и сопровождает человека на протяжении всей его жизни. Неудивительно, что проблема игры привлекала и привлекает к себе внимани ...
Модели личностно-ориентированного подхода в обучении русскому языку
1. Модульное обучение и его элементы активно используются в практике преподавания русского языка. Модульное обучение базируется на деятельностном подходе к обучению: только то учебное содержание осознано и прочно усваивается учеником, которое становится предметом его активных действий. Модульное обучение опи ...