Пример 3. Найдем сумму шести первым членов геометрической прогрессии , если известно, что
и
.
Зная и
, можно найти знаменатель прогрессии q.
Так как то
Значит, или
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Если , то
и
Если , то
и
Мы знаем, что число обращается в бесконечную десятичную периодическую дробь 0,3333 . .
Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить бесконечную десятичную дробь 0,3333… по разрядам, то получим сумму с бесконечным числом слагаемых: 0,03 + 0,003 + 0,0003 + . .
Слагаемые в этой сумме являются членами геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ., у которой .
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии имеем:
При неограниченном увеличении числа слагаемых n выражение становится сколь угодно близким к нулю, а значит, и вся дробь
неограниченно приближается к нулю.
Действительно, если n = 2, то если n = 3, то
если n = 4, то
если n = 5, то
и т.д.
Поэтому при неограниченном увеличении n разность становится сколь угодно близкой к числу
или, как говорят, стремится к числу
.
Таким образом, сумма n первых членов геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; . при неограниченном увеличении п стремится к числу . Это утверждение записывают в виде равенства
.
Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; . .
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию у которой
Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии:
Преобразуем выражение в правой части равенства:
Значит,
Можно доказать, что если , то при неограниченном увеличении п множитель
стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение
. Поэтому при неограниченном увеличении п сумма
Другие статьи:
Особенности развития фонематических процессов
Дошкольный возраст является наиболее благоприятным для формирования речи в целом и ее фонетической стороны в частности. Большинство детей к моменту обучения в школе уже полностью овладевают звуковой стороной речи, имеют достаточный словарный запас, умеют грамматически правильно строить предложения. Однако не ...
Психолого-педагогические основы готовности ребёнка к школьному обучению
В настоящее время приходится констатировать, что взаимосвязь между ступенями образования по-прежнему остается лишь декларацией, закрывающей реальную брешь в непрерывности педагогического процесса. Прежде всего, как отмечает В. Андреева, это относится к разрыву между дошкольным и начальным школьным образовани ...