Полезно обратить внимание учащихся на то, что натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1 и : 1, 2, 3, 4 . .
Геометрическая прогрессия по определению также представляет собой последовательность, задаваемую следующим рекуррентным соотношением: , т.е. задается условиями: и .
Первое знакомство учащихся с прогрессиями (как арифметической, так и геометрической) можно начать с конкретных примеров нескольких последовательностей, среди которых имеются, например, арифметические прогрессии. Рассматривая эти примеры, учащиеся могут выявить характеристические свойства последовательностей некоторого вида, которые учитель затем называет арифметическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии.
Следует указать учащимся, что любую постоянную последовательность, каждый член которой принимает значение, равное числу с, можно рассматривать и как арифметическую прогрессию с разностью , и как геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1.
В зависимости от значения разности прогрессии d (или знаменателя прогрессии q) характер поведения членов прогрессии различен. Так, арифметическая прогрессия будет возрастающей, если , и будет убывающей, если d < 0.
Несколько сложнее обстоит дело с геометрической прогрессией. Поэтому характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например, по такому плану:
1) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.
Пример 1. 1, 3, 9, 27, 81, . (т. е. , q = 3), или – 2, – 8, – 32, . (т. е. ).
2) Если , то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.
Пример 2. , или .
3) Пусть , тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, возрастающие по модулю,
Пример 3. – 3, 6, – 12, 24, . .
4) Если , то члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.
Пример 4. – 8, 1, .
5) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, т. е. , а при все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, т.е. [17].
Остановимся теперь на выводе формулы общего члена прогрессии. Опыт работы преподавателей показывает, что вывод формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий не вызывает затруднений у учащихся, поэтому в классе работу по выводу формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий можно провести на уроке-лекции по введению и самостоятельному приобретению новых знаний «Сравнение арифметической и геометрической прогрессий» самостоятельно по вариантам, а затем сделать вывод и записать формулы и . На этом же уроке учитель подводит учащихся к характеристическим свойствам прогрессий с помощью трех заданий, предлагаемых ученикам последовательно.
1) Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию?
2) Справедлива ли эта зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей?
а) (для арифметической прогрессии);
б) (для геометрической прогрессии).
3) Доказать, что для членов прогрессий справедлива закономерность:
Другие статьи:
Результаты диагностики уровня развития познавательных интересов у младших
школьников с нарушением интеллекта
Для изучения особенностей формирования познавательных интересов детей младшего школьного возраста на базе МОУ СОШ с. Сохондо Забайкальского края был проведен эксперимент. В эксперименте приняли участие учащиеся 3 класса в количестве 20 человек. Они были поделены на две группы: экспериментальную и контрольную ...
Характеристика взаимоотношений младших школьников со
сверстниками
В младшем школьном возрасте ребенку придется пройти все перипетии отношений, прежде всего со сверстниками. Здесь в ситуациях формального равенства (все одноклассники и ровесники) сталкиваются дети с разной природной энергетикой, с разной культурой речевого и эмоционального общения, с разной волей и отличным ...