Арифметическая прогрессия

Значит, при любом n справедливо равенство , и по определению последовательность является арифметической прогрессией. Заметим, что разность этой прогрессии равна k.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при верной является формула

(3)

Действительно, при имеем и . Складывая почленно эти равенства, получим , откуда следует (3).

2. У конечной арифметической прогрессии сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для верной является формула

(4)

Действительно, в конечной арифметической прогрессии члены и равноотстоят от концов. По формуле (2) и Сумма этих членов равна и равна сумме крайних членов .

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить, эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором – в порядке убывания: S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, в сумме дает 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

Итак, 1+ 2 + 3 + …+ 99 + 100 = 5050.

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т.е. если , то

(5)

Действительно, если , то

.

Складывая почленно эти равенства и используя свойство 2, получаем , откуда следует формула (5) .

Приведем примеры.

Пример 1. Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 1; 3,5; . .

В данной арифметической прогрессии . По формуле n-го члена найдем двадцатый член прогрессии:

Теперь вычислим сумму первых двадцати членов:

.

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (5) вместо выражение получим: т.е.

(6)

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (6), то вычисления будут выглядеть так:

.

Пример 2. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности , заданной формулой .

Последовательность является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида , где k = 5 и .

Другие статьи:

Модели личностно-ориентированного подхода в обучении русскому языку
1. Модульное обучение и его элементы активно используются в практике преподавания русского языка. Модульное обучение базируется на деятельностном подходе к обучению: только то учебное содержание осознано и прочно усваивается учеником, которое становится предметом его активных действий. Модульное обучение опи ...

Общая характеристика взаимоотношений младшего школьника
Поступление ребенка в школу знаменует собой не только начало перехода познавательных процессов на новый уровень развития, но и возникновение новых условий для личностного роста человека. В этот период времени ведущей для личности становится учебная деятельность. Младший школьник как субъект учебной деятельно ...

Главные разделы

• Главная
• Профессиональное самоопределение школьников
• Воспитание этнической толерантности в школе
• Понятие и технология обучения
• Образовательные технологии
• Оптимизация системы образования
• Изучение информационных технологий в школе
• Педагогика как наука