Арифметическая прогрессия

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6 и т.д. Получим последовательность 2, 4, 6, … .

Очевидно, что на четвертом месте этой последовательности будет число 8, на десятом – число 20 и т.д. Вообще для любого номера n можно указать соответствующее ему положительное четное число, оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

.

Для любого номера n мы можем узнать соответствующую ему дробь; она равна .

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым и т.д. членами последовательности

. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, и т.д. (читают: “ первое, второе, третье ” и т.д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму последовательность будем обозначать так: ().

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют конечной

. Примером конечной последовательности служит последовательность двухзначных чисел: 10; 11; 12; 13; .; 98; 99.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы, выражающей её n-й член как функцию номера n. Такую формулу называют формулой n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой , а последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, – формулой .

Пример 1. Пусть последовательность задана формулой . Вычислим первые пять её членов.

Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, получаем: ,

Пример 2. Пусть первый член последовательности () равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т.е.

С помощью формулы можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий и т.д. Получим последовательность 3, 9, 81, 6561, … .

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной

(от латинского слова recurro – возвращаться).

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21; … . Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией

называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность () – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:

, (1)

где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство: .

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый её член и разность.

Приведем примеры.

Пример 1. Если и d = 1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; … , члены которой – последовательные натуральные числа.

Другие статьи:

Причины акцентологических ошибок
Современный русский литературный язык отличается от внелитературного просторечия, местных говоров тем, что имеет систему норм произношения. Как должны произносится те или иные звуки в определенных фонетических позициях, в определенных сочетаниях с другими звуками, а также в определенных грамматических формах ...

Состояние вопроса в современной российской школе
Естествознание - одно из звеньев в системе общего образования. Как многократно подчеркивал в своих трудах русский ученый, методист Н.М. Верзилин, курс естествознания имеет важное значение в развитии и воспитании подрастающего поколения, в совершенствовании общей культуры школьников, развитии творческой лично ...

Главные разделы

• Главная
• Профессиональное самоопределение школьников
• Воспитание этнической толерантности в школе
• Понятие и технология обучения
• Образовательные технологии
• Оптимизация системы образования
• Изучение информационных технологий в школе
• Педагогика как наука