Изложение метода интервалов в школьных учебниках

Рассмотрим на примере нескольких учебниках изложение интересующей нас темы. В учебнике Башмакова М.И. метод интервалов рассматривается в начале 10 класса применительно к неравенствам вида f(x)>0, когда функцию y = f(x) можно представить как произведение линейных множителей. Сущность метода излагается следующим образом:

найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось;

исследовать знак произведения на каждом из получившихся отрезков числовой оси.

Далее дается схематическая таблица описанных выше шагов решения неравенств. Так же автор рекомендует использовать в ходе решения неравенств методом интервалов следующее правило: если все линейные множители различны (имеют разные корни), то произведение будет менять знак при переходе от одного интервала числовой оси к соседнему (знаки будут чередоваться). Поэтому достаточно определить знак на одном каком-нибудь интервале (обычно это крайний правый интервал). Непосредственное применение данного правила иллюстрируется на конкретных примерах. Оговариваются и основные правила обобщенного метода интервалов (сам термин не вводится): если число множителей левой части неравенства четное, то при переходе через их общий корень произведение не будет менять знак; если же число одинаковых множителей нечетно, то знак будет меняться.

В учебнике Виленкина Н.Я. авторы вводят метод интервалов так же в начале 10 класса, но через описание общего случая решения линейных неравенств вида

(ах + b)…(ax + b)<0.

Делается вывод о том, что все произведение, стоящее в левой части неравенства, может изменить знак лишь при переходе через одну из точек (один из корней линейного множителя): они делят числовую ось на несколько интервалов, на каждом из которых произведение знака не меняет. Поэтому достаточно взять на каждом интервале “пробную точку” и узнать знак выражения в этой точке – тот же знак оно будет иметь на всем интервале.

Существуют и другие подходы к введению метода интервалов в арсенал знаний, умений и навыков старшеклассников. Так, например, автор Колмагоров А Н. рассматривает метод интервалов после введения понятий функция (в том числе после понятия непрерывности функции на интервале), производная (изучение этого материала отнесено ко второй половине 10 класса). Учащимся объясняют, что именно на свойстве непрерывных функций сохранять постоянный знак на заданном промежутке основан метод решения неравенств с одной переменной (метод интервалов). Далее описывается сам метод интервалов: “Пусть функция f непрерывна на интервале (a; b) и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному свойству непрерывных функций этими точками (a; b) разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала”.

В учебниках по алгебре и началу анализа для 10 – 11 классов таких авторских коллективов, как Мордкович А.Г., Алимов Ш.А. нет теоретического материала по методу интервалов, т.к. это отнесено для ознакомления в средней школе.

Анализ системы упражнений, предлагаемой авторами учебников, показал, что напрямую идея метода интервалов (а так же обобщенного метода интервалов) используется лишь при решении рациональных и дробно-рациональных неравенств. Неравенства других же видов (иррациональные, логарифмические и др.) решаются путем составления систем и совокупностей неравенств (включающих различные условия существования функций и т.п.), равносильных исходным неравенствам, а сам метод интервалов применяется лишь для окончательного определения множества решения. Данный способ является, естественно, верным, но не всегда оправданным. В некоторых случаях удобнее изначально использовать метод интервалов (обобщенный). Поэтому для заданий на факультативном курсе “Применение метода интервалов при решении неравенств” были подобраны именно такие примеры и составлена система упражнений по ознакомлению учащихся с данным способом решения (сущность которого будет рассмотрена на одном из предложенных занятий).

Другие статьи:

Анализ результатов реализации программы формирующего эксперимента
Цель: проверка эффективности проведенных мероприятий на формирующем этапе эксперимента. На данном этапе были проведены повторные социзмерения по методикам констатирующего эксперимента. Нами были отмечены положительные результаты. Уровень благополучия семей почти не изменился, только в двух семьях стали меньш ...

Исторический аспект патриотического воспитания
Вопросы патриотического воспитания молодого поколения в духе любви к Родине и преданности Отечеству, законопослушных граждан государства всегда стояли в центре внимания ученых на протяжении всей истории развития человечества. Великие философы, педагоги уделяли этому вопросу значительное внимание с древнейших ...

Главные разделы

• Главная
• Профессиональное самоопределение школьников
• Воспитание этнической толерантности в школе
• Понятие и технология обучения
• Образовательные технологии
• Оптимизация системы образования
• Изучение информационных технологий в школе
• Педагогика как наука